Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương thức nguyên hàm từng phần cực hay

Với tra cứu nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng cách thức nguyên hàm từng phần cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương thức giải, lấy một ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm gồm lời giải cụ thể sẽ giúp học viên ôn tập, biết cách làm dạng bài bác tập tra cứu nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương thức nguyên hàm từng phần từ kia đạt điểm trên cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của e^-x

*

A. Phương pháp giải

1. Định lí

Nếu hai hàm số u = u(x) với v = v(x) có đạo hàm liên tiếp trên K thì ∫u(x)v"(x)dx = u(x)v(x) - ∫u"(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu.

2. Bí quyết đặt

Các dạng cơ bản: giả sử đề xuất tính I = ∫P(x).Q(x)dx

*

* thông thường nên chú ý: “Nhất log, hai đa, tam lượng, tứ mũ”

B. Lấy ví dụ như minh họa

Ví dụ 1. Tính ∫x.lnx dx.

*

Lời giải

*

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính ∫(x - 1)exdx.

A. (x - 1)ex + ex + C.

B. Xex - ex + C.

C. Xex + C.

D. (x - 2)ex + C.

Lời giải

*

Chọn D.

Ví dụ 3. tra cứu nguyên hàm của hàm số:

*

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 4. tìm I = ∫(3x2 - x + 1)exdx.

A. I = (3x2 - 7x + 8)ex + C.

B. I = (3x2 - 7x)ex + C.

C. I = (3x2 - 7x + 8) + ex + C.

D. I = (3x2 - 7x + 3)ex + C.

Lời giải

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Đặt u = 3x2 - x + 1 và dv = exdx

⇒ du = (6x - 1)dx cùng v = ex. Vị đó:

I = ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx

Đặt u1 = 6x - 1 với dv1 = exdx ta bao gồm du1 = 6dx cùng v1 = ex. Vì chưng đó:

∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C.

Từ đó suy ra:

I = ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x2 - 7x + 8)ex + C.

Chọn A.

Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số

*
bằng:

*

Lời giải

Ta có:

*

Chọn C.

Ví dụ 6. đưa sử F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số:

*

Biết F(1) = 0. Vậy F(x) bằng:

*

Lời giải

Ta có:

*

Chọn B.

Ví dụ 7. Hàm số f(x) = x.ex có những nguyên hàm là:

*

Lời giải

Ta có: ∫x.exdx = ∫xd(ex) = x.ex - ∫exdx = x.ex - ex + C.

Chọn D.

Ví dụ 8. tra cứu nguyên hàm của hàm số f(x) = x2(3.lnx + 1).

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 9. bọn họ nguyên hàm của hàm số

*
qua phép để t = √x là:

A. F(t) = 2tln2t - 4t + C.

B. F(t) = 2tln2t + 4t + C.

C. 2tlnt2 + 4t + C.

D. 2tlnt2 - 4t + C.

Lời giải

*

Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, do 2tlnt2 - 4t + C = 4tlnt - 4t + C.

Chọn D.

Xem thêm: Lỗi Máy In Không In Liên Tục Được Nhiều Bản, Lỗi Máy In Không In Được Và Cách Khắc Phục

Ví dụ 10. chúng ta nguyên hàm của hàm số

*
là:

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 11. search nguyên hàm của các hàm số sau: ∫(1 - 2x)exdx

A. Ex(2 - 3x) + C.

B. Ex(3 - 3x) + C.

C. Ex(3 - 2x) + C.

D. Ex(2 + 3x) + C.

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 12. tìm kiếm nguyên hàm của các hàm số sau ∫√x.lnx dx

*

Lời giải

*

Chọn D.

Ví dụ 13. mang đến F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f"(x)e2x.

A. ∫f"(x)e2xdx = -x2 + 2x + C.

B. ∫f"(x)e2xdx = -x2 + x + C.

C. ∫f"(x)e2xdx = 2x2 - 2x + C.

D. ∫f"(x)e2xdx = -2x2 + 2x + C.

Lời giải

Từ trả thiết ⇒ F"(x) = f(x).e2x ⇔ (x2)" = f(x).e2x ⇔ 2x = f(x).e2x (1)

Đặt A = ∫f"(x).e2xdx.

Đặt u = e2x ⇒ du = 2.e2xdx, dv = f’(x)dx. Chọn v = f(x)

⇒ A = e2x.f(x) - 2∫f(x).e2xdx = 2x - 2F(x) + C = -2x2 + 2x + C.

Chọn D.

Ví dụ 14. đến F(x) = (x - 1).ex là 1 trong nguyên hàm của hàm số f(x).e2x. Tra cứu nguyên hàm của hàm số f"(x).e2x.

*

Lời giải

*

Chọn C.

Ví dụ 15. mang lại

*
là 1 trong nguyên hàm của hàm số
*
. Tìm nguyên hàm của hàm số f"(x)lnx.

*

Lời giải

*

Chọn C.

C. Bài bác tập vận dụng

Câu 1: tra cứu nguyên hàm của những hàm số sau ∫(2x + 3)e-xdx

A. -e-x(2x - 1) + C.

B. -e-x(2x + 1) + C.

C. -e-x(2x + 5) + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải:

*

Chọn C.

Câu 2: Tính ∫x.2xdx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 3: Tính ∫lnxdx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn D.

Câu 4: Tính ∫2xln(x - 1)dx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn C.

Câu 5: Nguyên hàm I = ∫xln(x + 1)dx bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 6: gọi F(x) là 1 trong nguyên hàm của hàm số f(x) = x + ln(x + 1). Biết F(0) = 1, vậy F(x) bằng:

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 7: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x2 - 1)ex

*

Lời giải:

*

Cách khác: Đối cùng với nguyên hàm từng phần dạng:

∫f(x).exdx = f(x).ex - f"(x).ex + f""(x).ex - ... + f(k).ex + C.

∫(x2 - 1)exdx = (x2 - 1)ex - 2xex + 2ex + C = (x2 - 2x + 1).ex + C.

Chọn A.

Câu 8: search nguyên hàm H của hàm số f(x) = (3x2 + 1)lnx

*

Lời giải:

*

Chọn A.

Câu 9: tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = √x.lnx

*

Lời giải:

*

Chọn C.

Câu 10: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số sau: ∫x.lnxdx

*

Lời giải:

*

Chọn B.

Câu 11: Hàm số y = f(x) có đạo hàm f"(x) = x3.ex2 với f(0) = 0. Chọn kết quả đúng: